最小公约数（欧几里得算法&&stein算法）-白红宇

求最小公约数，最easy想到的是欧几里得算法，这个算法也是比較easy理解的，效率也是非常不错的。

也叫做辗转相除法。

对随意两个数a。b（a>b）。d=gcd（a。b），假设b不为零。那么gcd（a，b）=gcd（b。a%b）

证明：令 r=a%b，即存在k，使得 a=b*k+r，那么r=a-b*k；显然r>=0, r%d=（（a%d）-（b*k）%d）%d。由于a%d=b%d=0，所以r%d=0；

因此求gcd（a，b）能够转移到求gcd（b，a%b）。那么这就是个递归过程了。那什么时候递归结束呢，想一下，a。b不能为零，则能够把当b为零，作为递归的结束（当然还能够以其他结束条件），这就是求最大公约数的方法能够以其他结束条件），这就是求最大公约数的方法。

欧几里得递归版：

int gcd(int a,int b){    if(b==0) return a;    else return gcd(b,a%b);}

非递归版：

int gcd(int a,int b)//euclid{    int r;    while(b!=0)    {        r=a%b;        a=b;        b=r;    }    return a;}

Stein算法

欧几里德算法是计算两个数的传统算法，他不管从理论还是从效率上都是非常好的。可是他有一个致命的缺陷。这个缺陷仅仅有在大时才会显现出来。

硬件平台，一般整数最多也就是64位，对于这种整数，计算两个数之间的模是非常easy的。

对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模。仅仅须要一个指令，而计算64位下面的整数模。也只是几个周期而已。

可是对于更大的素数，这种计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过 64位的整数的模。用户或许不得不採用类似于多位数除法手算过程中的试商法。这个过程不但复杂，并且消耗了非常多CPU时间。对于现代password算法。要求计算 128位以上的素数的情况比比皆是，设计这种程序迫切希望可以抛弃除法和取模。

由J. Stein于1961年提出，这种方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法不同的是。Stein算法仅仅有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。

为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到下面结论：

gcd(a,a) = a，也就是一个数和他自身的公约数是其自身

gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)。也就是最大公约数运算和倍乘运算能够交换。特殊的。当k=2时。说明两个偶数的最大公约数必定能被2整除

当k不能整除b。gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是约掉两个数中仅仅有当中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地，当k=2时，说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时，能够先将偶数除以2。

算法步骤：

　 1、假设A=0。B是最大公约数。算法结束

　　2、假设B=0。A是最大公约数，算法结束

　　3、设置A1=A、B1=B和C1=1

　　4、假设An和Bn都是偶数。则An+1=An/2，Bn+1=Bn/2，Cn+1=Cn*2(注意，乘2仅仅要把整数左移一位就可以，除2仅仅要把整数右移一位就可以)

　　5、假设An是偶数，Bn不是偶数。则An+1=An/2，Bn+1=Bn，Cn+1=Cn(非常显然啦。2不是奇数的约数)

　　6、假设Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1=Bn/2，An+1=An，Cn+1=Cn(非常显然啦，2不是奇数的约数)

　　7、假设An和Bn都不是偶数，则An+1=|An-Bn|/2，Bn+1=min(An,Bn)。Cn+1=Cn

　　8、n加1，转1

比較好理解吧，实现起来也比較简单，效率也不比员算法差；

以下是实现的代码：

#include 
    
     #include 
     
      #include 
      
       #include 
       
        #include 
        
         using namespace std;int stein(int a,int b){    if(a==0) return b;    if(b==0) return a;    if(a%2==0 && b%2==0) return 2*stein(a>>1,b>>1);    else if(a%2==0)   return stein(a>>1,b);    else if(b%2==0)   return stein(a,b>>1);    else return stein(abs(a-b),min(a,b));}int main(){    int a,b;    scanf("%d%d",&a,&b);    printf("%d\n",stein(a,b));}

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